Le Frido 2018, livre libre de mathématique pour l’agrégation

Posté par  (site web personnel) . Édité par BAud, Snark, Davy Defaud, ZeroHeure et bubar🦥. Modéré par ZeroHeure. Licence CC By‑SA.
Étiquettes :
57
11
sept.
2018
Éducation

Le Frido 2018 est un livre libre de mathématique destiné à l’agrégation et plus. Il suppose connue la théorie des ensembles, puis fait tout en détail de la constructions des ensembles de nombres jusqu’aux statistiques en passant par les corps, les groupes, l’analyse, les probabilités et un peu de numérique.

Sommaire

Logique mathématique et pédagogique

Le Frido suit la logique mathématique, pas la logique pédagogique. Il n’est donc pas un bon ouvrage pour découvrir la mathématique. Bien que Le Frido parte des bases (construction des ensembles de nombres) et démontre tout en détails, il est destiné aux lecteurs qui savent déjà pas mal de choses.

J’utilise un script qui vérifie si tous les \ref pointent vers des \label se trouvant plus haut dans le texte, afin de m’assurer qu’aucune notion n’est utilisée avant d’être définie.

Cette façon de faire pose de grosses contraintes sur la table des matières. Par exemple, remarquez que :

  • les coordonnées polaires demandent les fonctions trigonométriques ;
  • les fonctions trigonométriques demandent de la théorie sur les suites et séries de fonctions ;
  • le théorème de permutation de limite de fonctions et de dérivée demande une intégrale (ça c’est un truc dingue, et si quelqu’un sait comment faire sans, je suis preneur).

Donc, les coordonnées polaires doivent arriver bien après les intégrales. En particulier, les exemples de changement de variables dans les intégrales durant le chapitre sur les intégrales sont très limités.

Changements depuis Le Frido 2017

Par rapport à l’année passée, les principales modifications sont des clarifications et des retours sur les bases. Peu de nouvelles choses pouvant être qualifiées de « woaw, un développement de plus ».

  • correction d’erreurs par cdrcprds : Z est intègre et euclidien ;
  • beaucoup de corrections et de précisions dans la partie « théorie des ensembles » par Guillaume Deschamps ;
  • unicité du corps de décomposition et nombreuses autres choses autour des anneaux et corps de polynômes, grâce aux remarques de cdrcprds ;
  • correction d’une faute dans la définition de la limite ; j’avais recopié trop rapidement la définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia : lisez la page de discussion ;
  • début de la démonstration du théorème de Weinersmith (qui dit que Lp est un Hilbert si et seulement si p = 2). Le nom de ce théorème est de moi, en hommage à la constance de Weiner, décrite dans une section à la fin du Frido ;
  • définition de a^x pour tout a>0 et x\in R, démonstration des principales propriétés, lien avec l’exponentielle et son équation différentielle ;
  • démonstration du fait que les coordonnées polaires sont un difféomorphisme de classe C^{\infty}, cela via un looooong détour par les produits tensoriels.

Pour plus de détails, voir le journal des modifications. La section « remerciements » dans l’introduction liste les personnes et leurs contributions.

Contributeurs

Merci à tout le monde

Pas mal de monde a envoyé des correctifs via GitHub et encore plus par courriel privé. Merci à tous.

J’en profite pour réitérer mon appel : si vous avez fait du travail sur Le Frido, n’hésitez pas à ajouter votre nom à la liste des contributeurs… ou à me demander de le faire, si vous ne touchez pas LaTeX/git.

Contributions

Le Frido contient dans son introduction une liste de questions encore en suspens, et de choses à faire. Il y en a pour tous les niveaux en analyse, en algèbre, en numérique et en LaTeX.

Si vous trouvez des erreurs ou des choses pas claires, n’hésitez pas à m’écrire. Pas besoin de connaître Git ou LaTeX : un simple courriel suffit.

Informatique théorique

Le contenu du Frido est évidemment influencé par mes goûts personnels.

La partie « analyse » contient quelques morceaux qui dépassent le cadre du programme de l’agrégation, par exemple :

  • la mesure de Lebesgue sur R^n est complètement définie, avec sa tribu et tout et tout ;
  • la topologie sur les espaces de distributions ;
  • certaines versions du théorème de représentation de Riez sont démontrées, et ça va aller de mal en pis parce que j’ai dans l’intention de prouver le théorème de Weiner.

Les parties « algèbre » et surtout « géométrie », en revanche, restent au ras du programme (et je ne sais presque pas ce qu’est un espace affine).

Pourquoi je raconte ça ?

Parce que Le Frido a absolument envie d’avoir une partie solide sur l’informatique théorique. Si vous avez des compétences, n’hésitez pas à rédiger un chapitre ou deux ou plus. Ou plus modestement, rédiger la définition d’une machine de Turing et donner deux exemples serait déjà pas mal.

Mais attention : Le Frido est un cours de mathématique ; la structure reste « définition, théorème, démonstration, exemples », dans cet ordre‐là.

Si vous voulez des idées, le programme spécifique à l’option D est vers la fin du programme

Pour compiler chez vous

La compilation du document est simplifiée. Il n’y a plus qu’une seule dépendance en un module Python personnel.

Les instructions sont ici.

Extension

Le Frido est la partie en français contenant la mathématique de niveau « jouable à l’agrégation ». Si vous en voulez plus, vous pouvez lire mazhe qui contient en plus, en anglais :

  • ce que j’ai fait pour ma thèse : déformation par action de groupe de AdS vu comme quotient de SO(2,n) ;
  • un peu de géométrie non commutative ;
  • une construction assez détaillée des différents types de fibrés (vectoriels, principaux et associés), algèbres de Clifford et opérateur de Dirac au programme ;
  • une tentative de réponse aux questions que je me pose sur la théorie (quantique) des champs : pourquoi le groupe de la nature est SL(2,C) et non Lorentz ? Pourquoi les fermions sont des sections de fibrés associés alors que les bosons sont des connexions ? Plus généralement, que veulent dire les physiciens quand ils disent « ce champ se transforme comme ceci ou cela » ?

Envoi

À septembre 2019 pour une prochaine version. En attendant, vous pouvez lire la dernière version roulante et consulter l’erratum mis à jour à chaque découverte désagréable.

Aller plus loin

  • # L'analyse au delà de l'agrégation

    Posté par  (site web personnel, Mastodon) . Évalué à 3. Dernière modification le 11 septembre 2018 à 14:32.

    La partie « analyse » contient quelque morceaux qui dépassent le cadre du programme de l'agrégation.

    Comme tu as l'air de pouvoir en ajouter beaucoup là dessus pourquoi ne ferais-tu pas un 2° livre post-agrégation sur l'analyse. Il n'est pas obligé d'être aussi important, même un livret suffirait. Mais ainsi tu donne un cadre précis au Frido, sans te brider.

    La machine de Turing,

    J'en connais le principe, le problème c'est le "problème de l'arrêt", le théorème au final c'est celui d'"incomplétude de Goëdel". Je sais les expliquer (j'ai en tête le principe de la démonstration) mais dans un cadre mathématiques, cela dépasse mes compétences. Désolé.

    Sous licence Creative common. Lisez, copiez, modifiez faites en ce que vous voulez.

    • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3.

      Comme tu as l'air de pouvoir en ajouter beaucoup là dessus pourquoi ne ferais-tu pas un 2° livre post-agrégation sur l'analyse. Il n'est pas obligé d'être aussi important, même un livret suffirait. Mais ainsi tu donne un cadre précis au Frido, sans te brider.

      C'est une grande question. Il faut distinguer les choses qui sont en dehors du programmes des choses qui sont au-delà du programme. Exemples de choses en-dehors :

      • La construction de la mesure de Lebesgue
      • Le théorème de d'Alembert (celui qui donne une racine dans C pour tout polynôme)
      • La construction des naturels

      Ces choses ne sont pas exigibles à l'agreg, et sont en effet très longs à faire complètement. Cependant, de nombreux résultats qui sont parfaitement au programme en dépendent.
      Donc, pour suivre l'ordre logique mathématique, ces résultats doivent être à l'intérieur du Frido. Ils ne peuvent pas être plus bas.

      Au contraire:
      * la théorie des champs quantiques,
      * les fibrés principaux
      * les algèbres de Hopf

      sont des choses au-delà du programme au sens où ils dépendent de choses au programme de l'agreg, mais rien dans l'agreg ne les utilise. Ces matières donc effectivement dans une extension du Frido

      Tout cela pour dire que non, il n'est pas vraiment possible de mettre les choses "hors programme" dans un bouquin "hors Frido".
      Ce qui est par contre possible, c'est de ne pas les compiler dans le même pdf pour la version commerciale. Quand on a les bons scripts de compilation, c'est pas très compliqué. D'ailleurs c'est ce qui arrive à une vignette de xkcd présente dans la version en ligne, mais absente de la version commerciale.
      Après, il ne faut pas dramatiser : il s'agit en tout pour l'instant de probablement moins de 200 pages; 100 pages pour la théorie de la mesure, 30 pages de distributions, et 10 pages de théorème de représentation de Riesz.
      Même en compilant le Frido sans, ça ne ferait pas une grande différence sur le prix d'achat, ni sur le poids à transporter.

      • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

        Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3.

        Exemples de choses en-dehors :

        La construction de la mesure de Lebesgue
        Le théorème de d'Alembert (celui qui donne une racine dans C pour tout polynôme)
        La construction des naturels

        Sérieux ? Il me semble avoir vu tous ces sujets en maths sup' (bon, j'avais un prof' qui aimait bien Bourbaki, il nous a même présenté Évariste_Galois avec les sous-groupes distingués pour appuyer la démonstration ce qui était clairement hors programme…).

        Ne me dis pas que les espaces de Banach sont aussi en dehors ?

        • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3. Dernière modification le 12 septembre 2018 à 21:09.

          J'ai dû mal m'exprimer. La construction de la mesure de Lebesgue n'est pas au programme au sens où la construction n'est pas au programme : tribu, algèbre de parties, completion, théorème de Caratéodory etc. Par contre, la mesure elle-même (dont les principales propriétés sont alors plus ou moins acceptées) est évidemment au programme.
          Même chose pour d'Alembert : le résultat doit être connu, mais pas la démonstration (ou alors ça expliquerait mes notes catastrophiques à chaque fois que je me suis présenté :) ).

          • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

            Posté par  (site web personnel) . Évalué à 5. Dernière modification le 13 septembre 2018 à 01:17.

            la construction n'est pas au programme

            ok, moui, les histoires de tribu, c'était plutôt pour ceux allant ensuite en M' (MPSI* actuellement, si j'ai bien suivi…).

            le résultat doit être connu, mais pas la démonstration

            cela doit être cela : mes profs de prépa en sup et spé ne donnaient pas de résultat sans fournir une démonstration (un peu simplifiée au besoin, via des théorèmes vaguement vus par ailleurs ou ultérieurement). Ils indiquaient lorsque la démo n'était pas au programme, effectivement… 2 ou 4h après /o\

            L'intérêt d'avoir la démonstration, c'est que cela permet de bien comprendre les interactions entre les termes, d'avoir potentiellement un exemple d'utilisation et d'évaluer la trivialité selon que la démo prenait 4 lignes, 1/2 page ou 1 page 1/2 :-)

            • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

              Posté par  . Évalué à 4. Dernière modification le 13 septembre 2018 à 02:40.

              À mon époque (une vingtaine d'années), les tribus et la théorie de la mesure de Borel-Lebesgue c'était à partir de la licence; en prépa on ne voyait que les intégrales de Riemann. En revanche les constructions de naturels, fractions, réels… ainsi que le théorème fondamentale de l'algèbre était bien au programme (avec la démonstration).

              Pour la preuve, une esquisse fait juste appel à des résultats de base de topologie et de comportements asymptotiques au voisinage de zéro et de l'infini des polynômes. Pour des complexes assez grand en module, le module d'un polynôme non constant se comporte comme son terme de plus haut degré et tend donc vers l'infini. On se limite donc à l'étude de son module sur un domaine fini. Or toute fonction continue sur un compact admet un minimum : il reste à montrer que ce dernier est bien zéro, et donc que le polynôme admet une racine. Soit z_0 un nombre complexe tel que P(z_0) soit de module minimal. Cette fois, on a P(z) - P(z_0) = a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_n z^n qui se comporte au voisinage de z_0 comme le monôme de plus petite puissance (le premier des a_i non nuls, qui existe car le polynôme est non constant). Ainsi, pour un petit rayon, à quelques perturbations près, l'image d'un disque autour de z_0 est un disque. Or si l'image de ce disque n'est pas centrée sur l'origine, i.e. si z_0 n'est pas une racine, alors on peut trouver à l'intérieur un complexe de module plus petit que celui de l'image de z_0, ce qui contredirait sa minimalité. Donc z_0 est une racine du polynôme.

              CQFD.

              Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

              • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

                Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3.

                En revanche les constructions de naturels, fractions, réels […] étaient bien au programme

                Pour les naturels, j'ai en fait un doute. Ce qui est faisable sans trop de problèmes est de dire que le vide est un naturel et ensuite de définir

                n+1 = n U {n}

                (je répète wikipédia)

                Par contre, du point de vue de la théorie des ensembles, ce n'est pas évident qu'il existe un ensemble qui contient tous les ensembles ainsi créés. J'imagine que tous les ensembles d'ordinaux jusqu'à un ordinal limite (non compri) satisfont la construction. D'après Wikipédia, N est alors défini comme l'intersection de tous les ensembles qui satisfont la construction.

                Bref sans toucher de près aux axiomes de la théorie des ensembles, oui on peut faire la construction des entiers naturels, mais pas celle de l'ensemble des entiers naturels ni même fairela construction RIEN QUE des entiers naturels.

                Ou alors je me fais des idées …

                En tout cas, c'est pour ça que le Frido accepte sans détails la théorie des ensembles, les naturels et les premières propriétés des naturels.

                • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

                  Posté par  . Évalué à 3. Dernière modification le 14 septembre 2018 à 00:45.

                  Pour les naturels, j'ai en fait un doute.

                  Si, on les définissait ainsi :

                  type naturel = Zero | Succ of nat

                  Là je l'ai écrit avec la syntaxe OCaml, mais l'idée était la même : une entier est soit zéro, soit le successeur d'un entier. Avec comme principe fondamental pour raisonner sur ce concept, le principe du raisonnement par récurrence (ou de manière équivalente, tout sous-type des entiers a un plus petit élément).

                  Pour donner une référence, c'est ainsi que Poincaré présentait l'arithmétique dans la Science et l'Hypothèse (ou la Valeur de la Science, je ne sais plus lequel des deux).

                  Pour l'encodage des entiers dans ZF et sa théorie des ordinaux, cela a son intérêt mais ZF (la théorie axiomatique des ensembles) est une théorie un peu étrange qui ne manipule pas des ensembles au sens où on l'entend usuellement. Quand tu dis que tu admets sans détails les principes de cette théorie, c'est en fait plutôt ceux de la théorie des types que tu as en tête (bien que tu appelles ensembles ce que cette théorie appelle types).

                  Je n'ai pas le temps de développer plus sur le sujet ce soir, mais j'essaierai demain ou dans le week-end.

                  Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

                • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

                  Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3. Dernière modification le 14 septembre 2018 à 07:34.

                  Pour les naturels, j'ai en fait un doute. Ce qui est faisable sans trop de problèmes est de dire que le vide est un naturel et ensuite de définir…

                  Ce n'est pas plus facile de partir de l'axiome “il existe un ensemble infini”? Disons X autrement dit on a une injection non surjective \sigma: X \to X.

                  Ensuite on prend \theta qui n'est pas dans l'image de X et on dit

                  On a par exemple X \in \mathcal{N} et on définit

                  et ensuite il faut travailler pour montrer que notre \mathbf{N} a les bonnes propriétés, autrement dit, satisfait les axiomes de Peano mais tous sont tautologiques dans ce modèle.

                  Par exemple, l'axiome de récurrence: Si K\subset\mathbf{N} contient \theta et est stable par \sigma alors K \in\mathcal{N} et donc on a aussi \mathbf{N} \subset K.

                  • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

                    Posté par  . Évalué à 3.

                    Ce n'est pas plus facile de partir de l'axiome “il existe un ensemble infini”?

                    Non, pas vraiment. En fait le processus qu'il décrit est celui de la définition d'un ordinal, cela afin de développer la théorie des ordinaux et l'arithmétique transfinie de Cantor dans ZF. Puis l'axiome de l'infini consiste à affirmer qu'il existe un ordinal limite (i.e. qui n'est pas le successeur d'un autre ordinal, mais l'union des ses antécédents par la relation d'ordre que définit l'appartenance sur eux), ce qui revient tout simplement à affirmer, de manière détournée, que l'arithmétique de Peano est cohérente (elle a un modèle, à savoir le plus petit ordinal limite que l'on appelle \omega).

                    J'ai pas trouvé le temps d'écrire ce que je voulais faire, ça attendra un peu. Mais juste pour montrer que ZF est un peu étrange sur sa notion d'ensemble, au niveau de l'arithmétique standard on se retrouve avec ça :

                    Tout est ensemble : un entier est un ensemble, les ensembles ne sont composés que d'ensembles. Il n'y a rien d'autres que des ensembles : les ensembles et leurs éléments sont considérés comme des entités homogènes. Un modèle de ZF est un module U qui satisfait cette signature :

                    module type ZF = sig
  type t
  val eq : t -> t -> bool
  val appartient : t -> t -> bool
end

                    Dans ZF, on ne peut formuler une proposition comme : tout entier est pair ou impair, mais seulement : pour tout objet, si c'est un entier alors il est pair ou impair.

                    Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

              • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

                Posté par  (site web personnel) . Évalué à 6.

                Petite remarque en passant: L'intégrale de Henstock-Kurzweil, qu'on peut voir comme une variation de celle de Riemann, permet de démontrer les théorèmes de convergence dominée et le théorème fondamental du calcul intégral sans faire de théorie de la mesure, ce qui est assez fascinant!

                https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html

              • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

                Posté par  . Évalué à 2. Dernière modification le 13 septembre 2018 à 09:44.

                Ainsi, pour un petit rayon, à quelques perturbations près, l'image d'un disque autour de z_0 est un disque.

                Il n'est pas nécessaire d'utiliser un théorème d'image ouverte ici. Soit j>0 tel que a_j \neq 0 et minimal parmi les indices satisfaisant cette propriété, et fixons \rho un complexe de module un tel que \rho^j a_j P(z_0)^{-1} soit réel <0 (il y a j choix possibles pour \rho). On peut alors prendre z = z_0 + t \rho avec t>0 tendant vers 0.

              • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

                Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3.

                Je vais tenter de lire cette démonstration très soigneusement. Le point délicat est que le Frido n'accepte que des références vers le haut; autrement dit, aucun résultat n'utilisant d'Alembert ne peut être utilisé avant d'avoir démontré d'Alembert.
                Du coup, si on utilise quelque chose comme la forme trigonométrique des nombres complexes, ça risque de faire bouger énormément de résultats.

                C'est une des raisons pour lesquelles j'ai pour l'instant décidé de mettre ce théorème avec Galois (rien que des choses pas démontrées) parce que j'ai une certaine certitude que la démonstration par ce biais est sans "dépendances" : il y a seulement des corps, des groupes et des extensions.

              • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

                Posté par  (site web personnel) . Évalué à 1. Dernière modification le 07 octobre 2018 à 07:15.

                Bien vu. Après lecture attentive, tout est faisable assez simplement, et sans recourir aux fonctions trigonométriques.

                C'est donc tapé et publié. Bonne avancée. Merci.

            • [^] # Re: L'analyse au delà de l'agrégation

              Posté par  . Évalué à 4.

              Petite erreur dans mon développement de Taylor pour l'étude au voisinage de z_0, il fallait lire :

              qui se comporte comme un terme de la forme a_i (z - z_0)^i au voisinage de z_0.

              Sapere aude ! Aie le courage de te servir de ton propre entendement. Voilà la devise des Lumières.

  • # Machine de Turing

    Posté par  (Mastodon) . Évalué à 5.

    Ou plus modestement, rédiger la définition d'une machine de Turing et donner deux exemples serait déjà pas mal.

    Si on reste dans l'esprit du livre, on ne peut pas se contenter de ça. Parce que parler de machine de Turing sans parler de langage, ça n'a pas de sens. Donc, il faut définir ce qu'est un langage, et donc définir ce qu'est un alphabet, un mot. Cependant, les langages peuvent partir de la théorie des ensembles (puisque ce sont eux-mêmes des ensembles et que beaucoup de notions sont identiques).

    Si j'ai du temps, j'essaierai de contribuer sur cet aspect. Je fais un cours de Théorie des Langages donc j'ai déjà quelques définitions sous la main.

    • [^] # Re: Machine de Turing

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2.

      Cependant, les langages peuvent partir de la théorie des ensembles (puisque ce sont eux-mêmes des ensembles et que beaucoup de notions sont identiques).

      Parfait. La première ligne du Frido est précisément qu'on accepte la théorie des ensembles. Rien ne peut nous arrêter !

      Si tu es motivé, le bon fichier pour commencer est le fichier nommé 42_nombres.tex. À la fin de ce fichier, les ensembles N,Z,Q et C sont construits avec leurs principales structures : ordre, anneau, groupe, corps.

      • [^] # Re: Machine de Turing

        Posté par  (Mastodon) . Évalué à 8.

        À la fin de ce fichier, les ensembles N,Z,Q et C sont construits avec leurs principales structures : ordre, anneau, groupe, corps.

        Donc, si je comprends bien, tu voudrais mettre les définitions/propriétés liées aux langages à la fin de ce fichier. C'est bien ça ? Et pour les machines de Turing, à la suite ?

        D'autre part, dans mazhe.pdf, je n'ai pas trouvé la définition d'un monoïde (il y a juste le lemme 6.19 qui parle de sous-monoïde et quelques autres trucs mais jamais de définition formelle). Or, l'ensemble des mots sur un vocabulaire muni du produit (concaténation) forme un monoïde (non-commutatif).

        Enfin, en parcourant ton site, je m'aperçois qu'on travaille à 300m l'un de l'autre, ça vaudrait sans doute le coup qu'on se voit IRL pour discuter de tout ça ;)

        • [^] # Re: Machine de Turing

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 4.

          Donc, si je comprends bien, tu voudrais mettre les définitions/propriétés liées aux langages à la fin de ce fichier. C'est bien ça ? Et pour les machines de Turing, à la suite ?

          Le mieux serait de créer un chapitre pour cela :

          • ajouter un \chapter là où il faut dans mazhe.tex
          • Ajouter \input{monfichier} en-dessous. Ici, monfichier doit commencer par un nombre à aller chercher dans le fichier réserve.tex.

          Sinon, ajouter au bout du fichier 42, ça doit être bon pour commencer.

          D'autre part, dans mazhe.pdf, je n'ai pas trouvé la définition d'un monoïde (il y a juste le lemme 6.19 qui parle de sous-monoïde et quelques autres trucs mais jamais de définition formelle). Or, l'ensemble des mots sur un vocabulaire muni du produit (concaténation) forme un monoïde (non-commutatif).

          Une définition manquante de plus. Bien vu. On va ajouter ça. En général, les différentes structures algébriques sont définies dans le fichier "42" sur la construction des ensembles de nombres parce qu'on a besoin de ces structures pour les définir; par exemple Q est le corps des fractions de Z. Et pour R, on utilise à fond la structure de corps sur Q.

          Enfin, en parcourant ton site, je m'aperçois qu'on travaille à 300m l'un de l'autre, ça vaudrait sans doute le coup qu'on se voit IRL pour discuter de tout ça ;)

          Un petit TieBreak ?

          • [^] # Re: Machine de Turing

            Posté par  (Mastodon) . Évalué à 2.

            Le mieux serait de créer un chapitre

            D'accord. Je pense que ce sera plus propre.

            Un petit TieBreak ?

            Heu… je ne joue pas au tennis ? J'ai eu du mal à le trouver, je ne savais pas qu'il s'appelait comme ça ce machin. Mais OK ! Je t'envoie un mail et on organise un truc.

        • [^] # Re: Machine de Turing

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2.

          D'autre part, dans mazhe.pdf, je n'ai pas trouvé la définition d'un monoïde

          Définition ajoutée.

  • # URL Sage

    Posté par  . Évalué à 1.

    http://www.sagenmath.org -> https://www.sagemath.org/

  • # Enorme boulot !

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 5.

    Ca t'a pris combien de temps ?

    "There's no such thing as can't. You always have a choice." - Ken Gor

    • [^] # Re: Enorme boulot !

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 10.

      Comme tout le monde : 24h par jour en décomptant

      • le temps de boulot 9h-18h
      • la famille
      • le sommeil

      Et en multipliant le résultat par environ 365 jours et 10 ans.

  • # "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3.

    Bonjour,

    Merci pour le kolossal travail. Concernant la « définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia », c'est un tantinet exagéré et partial. Pour des points de vue plus argumentés sur les avantages et inconvénients de chaque définition, on lira avec intérêt ce papier de Daniel Perrin (grand mathématicien français et professeur très apprécié de ses élèves) ainsi que cette discussion sur le forum les-mathematiques.net.

    (Bizarre : la prévisualisation de ce commentaire n'affiche que le sujet…)

    • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3. Dernière modification le 16 septembre 2018 à 11:49.

      (Bizarre : la prévisualisation de ce commentaire n'affiche que le sujet…)

      Les commentaires ayant une note de zéro ou moins ne sont pas affichés par défaut (sauf le titre). Ça ne devrait probablement pas s'appliquer à la prévisualisation (ça semble être correct d'après mon test d'ailleurs). C'est le système de karma pour gérer une partie de la modération automatiquement.

    • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2. Dernière modification le 18 septembre 2018 à 12:25.

      Pour des points de vue plus argumentés sur les avantages et inconvénients de chaque définition, on lira avec intérêt ce papier de Daniel Perrin

      La limite pointée a bien entendu une notabilité suffisante pour être mentionnée sur Wikipédia : il y a ce Perrin et quelque autre sources secondaires citées sur les pages de discussion.
      C'est ce que font les Wikipédias anglophones et italianophones : la limite pointée est mentionnée, mais n'est pas la définition.

      Mais la neutralité de point de vue de Wikipédia est de donner tous les points de vue, proportionnellement à leur représentativité. Dans ce cadre, la seule définition possible est la limite épointée. Les pages de discussions montrent très clairement que la présentation donnée par Wikipédia est un pur francocentrisme.

      Après, une définition n'est, mathématiquemet, jamais «fausse». Ici, quand je dis «faux», j'entends : «différente de ce à quoi s'attend la totalité de la communauté». Et, dans le cadre de Wikipédia, «contraire au principe de neutralité de point de vue».

      • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

        Posté par  (site web personnel) . Évalué à 1.

        Je ne sais pas trop ce qui te permet de décider de ce qu'est « ce à quoi s'attend la totalité de la communauté », mais passons. Je ne rentrerai pas dans la polémique Wikipédia, en revanche je note que la dépêche qualifie toujours de « fausse » la définition donnée dans de nombreux livres de l'enseignement supérieur, et que cela ne semble pas t'émouvoir plus que cela. Niveau « principe de neutralité de point de vue », je suis sûr que les auteurs apprécieront. Je ne citerai pas les Tout-en-un niveau L1 ou CPGE divers et variés, mais juste deux livres d'analyse écrits par des mathématiciens français reconnus que j'ai sous la main (les livres…) : Roger Godement, Analyse mathématique, t.1, p. 65 et Gustave Choquet, Cours de topologie, p. 26. Je n'ai pas Bourbaki sous la main, mais d'après le papier de Daniel Perrin suscité, c'est également la définition dite pointée qui est adoptée dans son traité. Je ne pense pas que Daniel Perrin ait inventé cela. Si je comprends bien ton commentaire, tout cela n'est en somme que des « sources secondaires » ?

        Je serais en ce cas très intéressé de connaître ta définition d'une source primaire pour le sujet qui nous préoccupe, à savoir la définition de la limite d'une fonction en un point. Ceci bien-sûr car je brûle d'impatience de pouvoir la consulter afin de connaître (enfin !) la Vérité. :-)

        Comme tu as l'air de le savoir, les définitions en maths sont une affaire de convention, il y a hélas parfois plusieurs définitions non équivalentes pour le même terme, et c'est à chaque auteur qu'il revient de préciser avec lesquelles il travaille pour que les choses soient claires. Je ne pense pas qu'il soit acceptable de qualifier de fausse une définition simplement parce qu'elle serait peu utilisée en dehors de France.

        Ce n'est pas parce que quelque chose vient de l'étranger, ou est très utilisé à l'étranger, que c'est forcément mieux que ce que l'on fait en France (il serait d'ailleurs temps que les médias s'en rendent compte). Voir par exemple le ridicule absolu des définitions d'une increasing funtion et d'une nonincreasing function sur un intervalle I, selon Wolfram/MathWorld (en terminologie française : respectivement fonction croissante et fonction décroissante). Pour ceux qui n'auraient pas réalisé, une fonction peut fort bien être « not increasing » sans être nonincreasing. Magnifique, n'est-ce pas ? Et c'est bien ce que « tout le monde » utilise en dehors de France, hein ? On appréciera aussi la clarté et la simplicité d'expressions telles que « non-negative » pour signifier « positif ou nul », sans parler des yards, feet et inches qui, heureusement, ont un pendant international un peu plus raisonnable.

        @Benoît Sibaud : j'ai oublié de te remercier pour le ticket de suivi dans mon précédent message, voilà qui est réparé. :-)

        • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2.

          Réponse en quelque points brefs

          • Comment je sais que «limite» au sens pointé est un francocentrisme ? Est-ce que la présentation en l'état est un viol du principe de neutralité de point de vue ? Tout cela est discuté sur la page de discussion, et également sur l'autre page de discussion. Si il y a quelque chose à ajouter sur ces questions, je propose qu'on aille là.
          • Si j'édite la dépêche pour changer «définition fausse» en «définition francocentique qui m'irrite», est-ce que ça irait mieux ? (là au moins ce serait clair que le problème est mon irascibilité, plutôt que Wikipédia)
          • Dans le Frido, il y a d'autres choix qui sont faits, qui ne sont peut-être pas ceux attendus à l'aggreg. Entre autres dans la définition de «compact», de «ln» (sur les complexes). Ces points sont clairement notés là où ils arrivent et répertoriés dans le paragraphe 0.4 «Quelques choix qui peuvent provoquer des quiproquos » du Frido. Si tu penses que ce n'est pas clairement expliqué, et que ça peut induire en erreur, n'hésite pas à me le signaler.

          • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

            Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2.

            J'oubliais un point très important; plus important que tout mon blabla sur la limite : j'adore Wikipédia et quand je me pose des questions sur une convention ou une notation, le plus souvent je choisis celle de Wikipédia. Ma râlerie à propos de la limite est un cas très isolé.

            Si je compte bien, Wikipédia arrive 114 fois dans la bibliographie du Frido.

          • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

            Posté par  (site web personnel) . Évalué à 1.

            Je n'ai pas discuté ce que tu appelles le francocentrisme de la définition pointée (je n'ai pas assez connaissance des us et coutumes de part le monde pour pouvoir prendre position sur ce point). Donc ton premier item n'est pas en rapport avec ce que j'ai écrit ; il faut peut-être relire le contexte.

            Concernant ton deuxième point : oui, ce serait mieux à mon avis. Mais je ne suis pas censeur, tu fais ce que tu veux. À mon humble avis, déclarer fausse (ainsi qu'on peut le lire ci-dessus) une des définitions possibles ne donne pas une très bonne image de ton travail — sans oublier les autres contributeurs. C'est dommage, mais comme on dit, c'est vous qui voyez…

            Enfin, votre paragraphe 0.4 : oui, très bien, à ceci près que dire que la définition pointée n'est jamais utilisée en dehors du lycée ne correspond pas à la réalité que j'ai connue et qui existe encore dans les livres que je possède (je parle bien de livres post-bac). D'ailleurs, dans cette réalité, la définition (pointée) de la limite m'a été enseignée correctement par mon prof de première (merci M. Coupry !), avec quantificateurs, epsilons et explications adaptées. Je ne sais pas si beaucoup de lycéens d'aujourd'hui ont la chance qu'on leur définisse correctement ce concept, avec lequel ils sont pourtant censés travailler dès la première (le programme de 1re S interdit explicitement une « définition formelle », celui de Terminale S reste très vague).

            Voilà… bonne journée.

        • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

          Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2.

          Roger Godement, Analyse mathématique, t.1, p. 65 et Gustave Choquet, Cours de topologie, p. 26. Je n'ai pas Bourbaki sous la main, mais d'après le papier de Daniel Perrin suscité, c'est également la définition dite pointée qui est adoptée dans son traité. Je ne pense pas que Daniel Perrin ait inventé cela. Si je comprends bien ton commentaire, tout cela n'est en somme que des « sources secondaires » ?

          Ce serait étonnant de voir une forte déviation entre Choquet et Godement d'une part et Bourbaki de l'autre. ;)

          La définition “où on enlève le point“ donne des théorèmes plutôt moins jolis (par exemple la caractérisation d'une fonction continue par les limites) mais évite de devoir travailler avec deux définitions de limites (limite en un point du domaine et limite en un point extérieur adhérent au domaine) ce qui est peut-être un avantage “dans les petites classes”.

          • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

            Posté par  (site web personnel) . Évalué à 3.

            Dites les gars, si quelqu'un voulait un jour «défendre» la limite épointée en citant autre chose que de sources françaises (ce qui confirme ma thèse que Wikipédia viole le principe de neutralité de point de vue), je signale qu'il y a des sources secondaires au moins sur les Wikipédia italianophones et anglophones.
            Comme ça, vous pourriez dire qu'il y a eu un jour quelque mathématiciens autre que Français qui ont considéré la limite pointée.

            Ah, et pour clarifier : source «secondaire» n'est pas péjoratif, que du contraire. Sur Wikipédia, «secondaire» signifie «qui n'a pas inventé», à mettre en opposition à «travail originial». Ce sont les sources secondaires qui donnent leur pertinence aux concepts. Bourbaki est typiquement une source secondaire qui a beaucoup de pertinence.

            La définition “où on enlève le point“ donne des théorèmes plutôt moins jolis (par exemple la caractérisation d'une fonction continue par les limites) mais évite de devoir travailler avec deux définitions de limites (limite en un point du domaine et limite en un point extérieur adhérent au domaine) ce qui est peut-être un avantage “dans les petites classes”.

            M'est avis qu'il ne faut pas deux définitions de limites, parce que la définition pointée demande quand même de prendre l'intersection entre le voisinage et le domaine de la fonction.

            Pour la dérivée, on peut écrire

            même avec une limite pointée. Les gens ont souvent le scrupule de préciser

            mais si j'ai bien compris, formellement, c'est inutile.

            Je crois que le seul cas où les deux définitions ne sont pas complètement interchangeables, c'est quand la fonction existe au point considéré, comme pour

            Ici, la limite pointée n'existe pas alors que la limité épointée donne \lim_{x\to 0}f(x)=0.

            Mais comme il est assez râre d'utiliser la notion de limite là où une fonction existe, en pratique tout ceci n'a aucune importance.

            • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

              Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2. Dernière modification le 14 octobre 2018 à 12:27.

              Dites les gars, si quelqu'un voulait un jour «défendre» la limite épointée en citant autre chose que de sources françaises …

              Perso je m'en fiche de la nationalité des mathématiciens en question, ce qui compte est d'avoir un outil efficace. (PS. Du reste l'école mathématique française et particulièrement celle des années 60-70 jouit d'une réputation internationale. PS2 Si le but est de préparer des candidats à l'agreg de maths, c'est quand-même important de considérer le point de vue français sur la question.)

              M'est avis qu'il ne faut pas deux définitions de limites, parce que la définition pointée demande quand même de prendre l'intersection entre le voisinage et le domaine de la fonction.

              En fait ce qui unifie les définitions, c'est la notion de filtre.

              Je crois que le seul cas où les deux définitions ne sont pas complètement interchangeables, c'est quand la fonction existe au point considéré, comme pour

              Ou, pour le dire plus correctement, lorsque le point considéré est dans le domaine de la définition.

              Notamment, lorsqu'on étudie les fonctions continues et la notion de limite, on montre des théorèmes comme (définition de limite ”avec le point”)

              THÉORÈME 1. Une fonction f : A \to B est continue en x \in A ssi f a une limite en x.

              THÉORÈME 2. Soit f : A \to B et g : B \to C, si f a une limite y en x et si g est continue en y alors g\circ f a une limite en x et cette limite est g(y).

              et ces théorèmes sont plus pénibles à énoncer ou utiliser avec la définition de limite “sans le point”. (Dans le THÉORÈME 1 il faut ajouter que que x est un point d'accumulation du domaine et quand on utilise le THÉORÈME 2 il faut traiter à part les points qui ne sont pas des points d'accumulation.)

              • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

                Posté par  (site web personnel) . Évalué à 1.

                et ces théorèmes sont plus pénibles à énoncer ou utiliser avec la définition de limite “sans le point”.

                Oui. Mais ils disent un peu plus : dans le cas de la limite épointée, on distingue naturellement trois cas : limite n'existe pas, limite existe mais pas égale à la fonction, limite existe et est égale.

                Si le but est de préparer des candidats à l'agreg de maths, c'est quand-même important de considérer le point de vue français sur la question.)

                Alors le Frido est pour vous : il présente les deux notions, montre les différences, et prévient le lecteur qu'il risque de se faire arnaquer si il essaye de croiser des références françaises avec des références d'autres pays (d'ailleurs, la rédaction de ce paragraphe doit beaucoup à ce fil de commentaires).

                Et comme c'est du libre et que l'auteur principal est sympa, il ne refusera sûrement pas une contributions donnant plus de résultats concernant la limite pointée.

                Bon. Ce disant, je remarque qu'il y a encore du flottement dans le Frido lors du passage des définitions topologiques vers leurs "avatars" sur R. Tel qu'écrit dans le Frido, il y a (je crois) une incohérence pour limite et continuité d'une fonction définie sur un singleton ou plus généralement sur un espace contenant un point isolé.

                • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

                  Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2.

                  Tel qu'écrit dans le Frido, il y a (je crois) une incohérence pour limite et continuité d'une fonction définie sur un singleton ou plus généralement sur un espace contenant un point isolé.

                  En gros c'est un peu le sujet de la discussion – cf. ma remarque concernant le théorème 1. Et quand on passe l'agreg on n'a pas le droit de se prendre les pieds dans le tapis sur des notions aussi fondamentales que la continuité et les limites.

                  • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

                    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 1.

                    En gros c'est un peu le sujet de la discussion – cf. ma remarque concernant le théorème 1. Et quand on passe l'agreg on n'a pas le droit de se prendre les pieds dans le tapis sur des notions aussi fondamentales que la continuité et les limites.

                    Pas du tout. Le problème vient du côté "tout en un" du Frido, et de son histoire. J'avais commencé par écrire de l'analyse réelle tout à fait normale genre "ouvert dans R" (vraiment niveau agreg). Ensuite, j'ai voulu écrire limite/continuité dans le cadre topologique général (hors agreg) et c'est la connexion entre les deux qui me semble foirer pour l'instant.
                    Et justement, ça foire à cause du fait que Wikipédia prenne sans prévenir une définition pas du tout standard; j'ai suivi Wikipédia sur certains points sans être assez attentif et boum.

                    Depuis le temps que la faute est là, et avec le nombre de personnes m'ayant déjà envoyé du retour, j'ai une certaine confiance dans le fait que cette histoire n'a pas d'impact au niveau agreg : "fonction définie sur un ouvert de Rn".

                    Un grand classique du libre en somme : auteur unique, pas beaucoup de temps, manque de relecture… de temps en temps on tombe sur une perle.

                    Outre une quantité phénoménale de fautes de frappe, il y en a quelque grâves listées ici :
                    https://github.com/LaurentClaessens/mazhe/blob/master/erratum.md

                  • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

                    Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2. Dernière modification le 15 octobre 2018 à 07:57.

                    En gros c'est un peu le sujet de la discussion – cf. ma remarque concernant le théorème 1. Et quand on passe l'agreg on n'a pas le droit de se prendre les pieds dans le tapis sur des notions aussi fondamentales que la continuité et les limites.

                    J'avais oublié la réponse plus mathématique à cette objection. La voici.

                    Comme je le disais plus haut, la limite pointée est sûrement plus simple pour les énoncés simples. Mais elle donne moins d'informations; il y a conservation de la difficulté.
                    La limite pointée ne permet pas de faire facilement la différence entre une discontinuité vraiment sale du genre de sin(1/x) en x=0 d'une discontinuité un peu artificielle comme la fonction

                    qui se règle en bougeant un seul point.

                    Donc bon. L'utilisation de la limite pointée simplifie les trucs très simples, mais demande l'introduction de nouveaux outiles (essentiellemet équivalents à la limite épointée) lorsqu'on entre dans les chose à peine moins simples.

                    • [^] # Re: "définition fausse très discutable fausse donnée sur Wikipédia" ? Hum...

                      Posté par  (site web personnel) . Évalué à 2.

                      qui se règle en bougeant un seul point.

                      Elle est réglée même sans rien faire, si je m'autorise des jeux de mots moisis.

                      La limite pointée ne permet pas de faire facilement la différence entre une discontinuité vraiment sale du genre de sin(1/x) en x=0 d'une discontinuité un peu artificielle comme la fonction

                      La bonne notion à regarder c'est plutôt l'ensemble des valeurs d'adhérence pour la fonction.

                      Donc bon. L'utilisation de la limite pointée simplifie les trucs très simples,

                      C'est, plutôt que les “trucs très simples”, les énoncés de topologie générale qui “marchent mieux” avec la limite pointée (sinon on s'emmerde à devoir distinguer le cas “point d'accumulation vs. point isolé”, c'est tarte. Par exemple l'énoncé

                      Soit u une suite réelle à valeurs dans A\subset\mathbf{R} et soit f:A \to R une fonction. Si \lim_{n\to\infty} u_n = a, si a\in A et si \lim {x\to a} f(x) = y alors \lim_{n\to\infty} f(u_n) = y.

                      est faux si on a comme notion de limite la limite “épointée” – à la place il faut dire que f est continue en a.

                      (essentiellemet équivalents à la limite épointée)

                      À aucun moment il ne s'agit de dire que la limite épointée ne sert à rien, au contraire c'est aussi une notion fondamentale (cas de N et des suites, limite à l'infini, limite au bord du domaine de définition, dérivées à gauche, à droite, par exemple) et on est bien obligé de manipuler les deux.

  • # Équations bizarres sous firefox

    Posté par  . Évalué à 1.

    Plein d'équations ont une tête bizarre dans le lecteur pdf intégré à Firefox. Dès la page 6 par exemple, les sigmas de tes sommes sont tout étirés et dépassent sur la ligne suivante. C'est quelque chose de connu ? Sinon, ça vaudrait peut-être le coup de faire remonter le bug à Firefox

Suivre le flux des commentaires

Note : les commentaires appartiennent à celles et ceux qui les ont postés. Nous n’en sommes pas responsables.